Question

如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，BN的长为_____．

Answer

【解析】根据三角形中位线定理得MN=AD，根据直角三角形斜边中线定理得BM=AC，从而可证MN=BM，；再由∠BMN=90°，根据BN2=BM2+MN2即可解决问题．

在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点，

∴MN∥AD，MN=AD，

在Rt△ABC中，∵M是AC中点，

∴BM=AC，

∵AC=AD，

∴MN=BM，

∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，

∴∠BAC=∠DAC=30°，

∴BM=AC=AM=MC，

∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°，

∵MN∥AD，

∴∠NMC=∠DAC=30°，

∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°，

∴BN2=BM2+MN2，

∴MN=BM=AC=1，

∴BN=．

故答案为： ．