Question

荣昌公司要将本公司100吨货物运往某地销售，经与春晨运输公司协商，计划租用甲，乙两种型号的汽车共6辆，用这6辆汽车一次将货物全部运走，其中每辆甲型汽车最多能装该种货物16吨，每辆乙型汽车最多能装该种货物18吨．已知租用1辆甲型汽车和2辆乙型汽车共需费用2500元；租用2辆甲型汽车和1辆乙型汽车共需费用2450元，且同一种型号汽车每辆租车费用相同．

（1）求租用一辆甲型汽车，一辆乙型汽车的费用分别是多少元？

（2）若荣昌公司计划此次租车费用不超过5000元．通过计算求出该公司有几种租车方案？请你设计出来，并求出最低的租车费用．

（3）该商业公司生产的此时令商品每件成本为15元，经过市场调研发现，这种商品在未来20天内的日销量m（件）与时间t（天）的函数关系：m=﹣2t+100；该商品每天的价格y（元/件）与时间t（天）的函数关系为：y=t+20（1≤t≤20），其中t取整数；在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（a＜4）给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润时间t（天）的增大而增大（含20天的日销售利润和第19天的日销售利润相等的情况），求a的最小值．

Answer

（1）租用一辆甲型汽车的费用是800元，租用一辆乙型汽车的费用是850元；（2）共有三种方案，分别是：方案一：租用甲型汽车2辆，租用乙型汽车4辆；方案二：租用甲汽车3辆，租用乙型汽车3辆；方案三：租用甲型汽车4辆，租用乙型汽车2辆．最低运费是4900元；（3）a的最小值是．

【解析】

（1）找出等量关系列出方程组再求解即可．本题的等量关系为“租用1辆甲型汽车和2辆乙型汽车共需费用2500元”和“租用2辆甲型汽车和1辆乙型汽车共需费用2450元”；

（2）设租用甲型汽车z辆，租用乙型汽车（6-z）辆．根据荣昌公司要将本公司100吨货物运往某地销售，以及计划此次租车费用不超过5000元列出不等式组，求解即可；

（3）设日销售利润为w元，根据w=日销量m×（售价一成本-捐赠），利用对称轴解决问题．

（1）设租用一辆甲型汽车的费用是x元，租用一辆乙型汽车的费用是y元．

由题意得，；

解得：，

答：租用一辆甲型汽车的费用是800元，租用一辆乙型汽车的费用是850元．

（2）设租用甲型汽车z辆，租用乙型汽车（6-z）辆．

由题意得，

解得2≤z≤4，

由题意知，z为整数，

∴z=2或z=3或z=4，

∴共有3种方案，分别是：

方案一：租用甲型汽车2辆，租用乙型汽车4辆；

方案二：租用甲型汽车3辆，租用乙型汽车3辆；

方案三：租用甲型汽车4辆，租用乙型汽车2辆．

方案一的费用是800×2+850×4=5000（元）；

方案二的费用是800×3+850×3=4950（元）；

方案三的费用是800×4+850×2=4900（元）；

∵5000＞4950＞4900；

∴最低运费是方案三的费用：4900元；

答：共有三种方案，分别是：

方案一：租用甲型汽车2辆，租用乙型汽车4辆；

方案二：租用甲汽车3辆，租用乙型汽车3辆；

方案三：租用甲型汽车4辆，租用乙型汽车2辆．最低运费是4900元．

（3）设日销售利润为w元，

则w=（-2t+100）（t+20-15-a）=-t2+（2a+15）t+500-100a，

对称轴是：t=2a+15，

∵1≤t≤20，且每天扣除捐赠后的日销售利润时间t（天）的增大而增大，

当x=19与x=20是对称点时，t=19.5，

∴2a+15≥19.5，

a≥，

∵a＜4，

∴≤a＜4，

∴a的最小值是．