Question

在矩形ABCD中，AD=3，CD=4，点E在CD上，且DE=1．

   

（1）感知：如图①，连接AE，过点E作EF丄AE，交BC于点F，连接AE，易证：△ADE≌△ECF（不需要证明）；

（2）探究：如图②，点P在矩形ABCD的边AD上（点P不与点A、D重合），连接PE，过点E作EF⊥PE，交BC于点F，连接PF．求证：△PDE和△ECF相似；

（3）应用：如图③，若EF交AB于点F，EF丄PE，其他条件不变，且△PEF的面积是6，则AP的长为_____．

Answer

3﹣

【解析】试题感知：先利用矩形性质得：∠D=∠C=90°，再利用同角的余角相等得：∠DAE=∠FEC，根据已知边的长度计算出AD=CE=3，则由ASA证得：△ADE≌△ECF；

探究：利用两角相等证明△PDE∽△ECF；

应用：作辅助线，构建如图②一样的相似三角形，利用探究得：△PDE∽△EGF，则 =，所以 =，再利用△PEF的面积是6，列式可得：PE•EF=12，两式结合可求得PE的长，利用勾股定理求PD，从而得出AP的长．

试题解析：证明：感知：如图①．∵四边形ABCD为矩形，∴∠D=∠C=90°，∴∠DAE+∠DEA=90°．∵EF⊥AE，∴∠AEF=90°，∴∠DEA+∠FEC=90°，∴∠DAE=∠FEC．∵DE=1，CD=4，∴CE=3．∵AD=3，∴AD=CE，∴△ADE≌△ECF（ASA）；

探究：如图②．∵四边形ABCD为矩形，∴∠D=∠C=90°，∴∠DPE+∠DEP=90°．∵EF⊥PE，∴∠PEF=90°，∴∠DEP+∠FEC=90°，∴∠DPE=∠FEC，∴△PDE∽△ECF；

应用：如图③，过F作FG⊥DC于G．∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，∴FG=BC=3．∵PE⊥EF，∴S△PEF=PE•EF=6，∴PE•EF=12，同理得：△PDE∽△EGF，∴=，∴=，∴EF=3PE，∴3PE2=12，∴PE=±2．∵PE＞0，∴PE=2．在Rt△PDE中，由勾股定理得：PD==，∴AP=AD﹣PD=3﹣．故答案为：3﹣．