Question

如图，AB是圆⊙O的直径，BC是⊙O的切线，连结AC交⊙O于点D，E为上一点，连结AE、BE，BE交AC于点F，且AE²=EF•EB

（1）求证：CB=CF．

（2）若点E到弦AD的距离为1，cos∠C=，求⊙O的半径．

Answer

（1）证明见解析；（2）⊙O的半径是．

【解析】

（1）如图1，由已知证明△AEF∽△BEA，根据相似三角形的对应角相等可得∠1=∠EAB，再根据∠1=∠2，∠3=∠EAB，从而可得∠2=∠3，继而可得CB=CF；

（2）如图2，连接OE交AC于点G，设⊙O的半径是r，由（1）可得∠4=∠5，继而可得，从而可得EG=1，根据cos∠C=，且∠C+∠GAO=90°，可得sin∠GAO=，继而可求得半径长.

（1）如图1，∵AE2=EF•EB，

∴，

又∵∠AEF=∠AEB，

∴△AEF∽△BEA，

∴∠1=∠EAB．

∵∠1=∠2，∠3=∠EAB，

∴∠2=∠3，

∴CB=CF；

（2）如图2，连接OE交AC于点G，设⊙O的半径是r，

由（1）知，△AEF∽△BEA，则∠4=∠5，

∴，

∴OE⊥AD，

∴EG=1，

∵cos∠C=，且∠C+∠GAO=90°，

∴sin∠GAO=，

∴，即，

解得，r=，

即⊙O的半径是．