Question

如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上的一点，且满足，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3，给出下列结论：①△ADF∽△AED；②GF=2；③tan∠E=；④S_△ADE=7．其中正确的是__________（写出所有正确结论的序号）．

Answer

①②④

【解析】

①利用垂径定理可知，可知∠ADF=∠AED，结合公共角可证明△ADF∽△AED；②结合CF=2，且，可求得DF=6，且CG=DG，可求得FG=2；③在Rt△AGF中可求得AG，在Rt△AGD中可求得tan∠ADG=，且∠E=∠ADG，可判断出③；④可先求得S△ADF，再求得△ADF∽△AED的相似比，可求出S△ADE=7.

①∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，

∴，DG=CG，

∴∠ADF=∠AED，

∵∠FAD=∠DAE（公共角），

∴△ADF∽△AED，故①正确；

②∵，CF=2，

∴FD=6，

∴CD=DF+CF=8，

∴CG=DG=4，

∴GF=CG﹣CF=2，故②正确；

③∵AF=3，FG=2，

∴AG=，

∴在Rt△AGD中，tan∠ADG=，

∴tan∠E=，故③错误；

④∵DF=DG+FG=6，AD==，

∴S△ADF=DF•AG=×6×=3，

∵△ADF∽△AED，

∴，

∴，

∴S△AED=7，故④正确，

故答案为：①②④．