Question

随着“一带一路”的进一步推进，我国瓷器（“china”）更为“一带一路”沿线人民所推崇，一外国商户看准这一商机，向我国一瓷器经销商咨询工艺品茶具，得到如下信息：

（1）每个茶壶的批发价比茶杯多110元；

（2）一套茶具包括一个茶壶与四个茶杯；

（3）600元批发茶壶的数量与160元批发茶杯的数量相同．

根据以上信息：

（1）求茶壶与茶杯的批发价；

（2）若该商户购进茶杯的数量是茶壶数量的5倍还多20个，并且总数不超过200个，该商户打算将一半的茶具按每套500元成套销售，其余按每个茶壶270元，每个茶杯70元零售，请帮助他设计一种获取利润最大的方案，并求出最大利润．

Answer

（1）茶杯的批发价为40元/个，则茶壶的批发价为150元/个；（2）当购进30个茶壶、170个茶杯时，有最大利润，最大利润为7950元．

【解析】（1）设茶杯的批发价为x元/个，则茶壶的批发价为（x+110）元/个，根据数量=总价÷单价结合600元批发茶壶的数量与160元批发茶杯的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论；

（2）设商户购进茶壶m个，则购进茶杯（5m+20）个，根据总数不超过200个，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设利润为w，根据总利润=单件利润×销售数量结合销售方式，即可得出w关于m的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题．

（1）设茶杯的批发价为x元/个，则茶壶的批发价为（x+110）元/个，

根据题意得：，

解得：x=40，

经检验，x=40是原分式方程的解，

∴x+110=150．

答：茶杯的批发价为40元/个，则茶壶的批发价为150元/个；

（2）设商户购进茶壶m个，则购进茶杯（5m+20）个，

根据题意得：m+5m+20≤200，

解得：m≤30，

若利润为w元，则

w=m（500﹣150﹣4×40）+m×（270﹣150）+（5m+20﹣×4m）×（70﹣40）

=245m+600，

∵w随着m的增大而增大，

∴当m取最大值时，利润w最大，

当m=30时，w=7950，

∴当购进30个茶壶、170个茶杯时，有最大利润，最大利润为7950元．