Question

如图，△ABC和△ADE分别是以BC，DE为底边且顶角相等的等腰三角形，点D在线段BC上，AF平分DE交BC于点F，连接BE，EF．

（1）CD与BE相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由；

（2）若∠BAC=90°，求证：BF²+CD²=FD²．

Answer

（1）CD=BE，理由见解析；（2）证明见解析.

【解析】（1）由两个三角形为等腰三角形可得AB＝AC，AE＝AD，由∠BAC＝∠EAD可得∠EAB＝∠CAD，根据“SAS”可证得△EAB≌△CAD，即可得出结论；

（2）根据（1）中结论和等腰直角三角形的性质得出∠EBF＝90°，在Rt△EBF中由勾股定理得出BF2＋BE2＝EF2，然后证得EF＝FD，BE＝CD，等量代换即可得出结论．

（1）CD＝BE，理由如下：

∵△ABC和△ADE为等腰三角形，

∴AB＝AC，AD＝AE，

∵∠EAD＝∠BAC，

∴∠EAD﹣∠BAD＝∠BAC﹣∠BAD，

即∠EAB＝∠CAD，

在△EAB与△CAD中，

∴△EAB≌△CAD，

∴BE＝CD；

（2）∵∠BAC＝90°，

∴△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，

∴∠ABF＝∠C＝45°，

∵△EAB≌△CAD，

∴∠EBA＝∠C，

∴∠EBA＝45°，

∴∠EBF＝90°，

在Rt△BFE中，BF2＋BE2＝EF2，

∵AF平分DE，AE＝AD，

∴AF垂直平分DE，

∴EF＝FD，

由（1）可知，BE＝CD，

∴BF2＋CD2＝FD2．