Question

如图，抛物线y=﹣x²+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2），点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当四边形CDBF的面积最大时，E点的坐标为_____．

Answer

（2，1）

【解析】

由于四边形CDBF的面积等于△CDB的面积与△BCF的面积之和，当四边形CDBF的面积最大时，即△BCF最大，设点E的坐标为（x，y），利用点E的坐标表示出△BCF的面积即可求出点E的坐标．

过点E作EG⊥x轴于点G，交抛物线于F，

将A（﹣1，0），C（0，2）代入y=﹣x2+mx+n

解得：

∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2

令y=0代入y=﹣x2+x+2，

∴0=﹣x2+x+2

解得：x=﹣1或x=4

∴B（4，0）

∴OB=4

设直线BC的解析式为y=kx+b，

把B（4，0）和C（0，2）代入y=kx+b

∴

解得：

∴直线BC的解析式为：y=﹣x+2，

设E的坐标为：（x，﹣x+2）

∴F（x，﹣x2+x+2）

∴EF=﹣x2+x+2﹣（﹣x+2）=﹣x2+2x，

∴△BCF的面积为：EF•OB=2（﹣x2+2x）=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4

四边形CDBF的面积最大时，只需要△BCF的面积最大即可，

∴当x=2时，

△BCF的面积可取得最大值，

此时E的坐标为（2，1）

故答案是：(2,1).