Question

如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AB于点F，交AC的延长线于点E．

（1）判断EF与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若AF=6，sinE=，求BF的长．

Answer

(1)见解析;(2).

【解析】

（1）EF与⊙O相切，先根据等腰三角形三线合一得：BD是高线也是中线，由此得OD是△ABC的中位线，所以OD∥AB，所以OD⊥EF，则EF与⊙O相切；

（2）设圆的半径为x，根据△EOD∽△EAF，列比例式求x的值，则直径AC=，则AB=，由此可得结论．

【解析】
（1）EF与⊙O相切，理由是：

连接OD、AD，

∵AC是⊙O的直径，

∴∠ADC=90°，

∵AB=AC，

∴BD=DC，

∵OA=OC，

∴OD为△ABC的中位线，

∴OD∥AB，

∵EF⊥AB，

∴OD⊥EF，

∴EF与⊙O相切；

（2）∵OD∥AB，

∴△EOD∽△EAF，

∴，

Rt△AEF中，sinE==，

∵AF=6，

∴=，

∴AE=10，

设OD=x，则OA=OD=x，

∴，

x=，

∴OA=，

∴AC=2OA=，

∴AB=AC=，

∴BF=AB﹣AF=﹣6=．