Question

已知，在△ABC中，∠A＞∠B，分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧交于点P，点Q，作直线PQ交AB于点D，再分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧交于点M，点N，作直线MN交BC于点E，若△CDE是等边三角形，则∠A=_____．

Answer

45°

【解析】

如图，由作法得PQ垂直平分AC，MN垂直平分BD，利用线段垂直平分线的性质得到DA=DC，EB=ED，则∠A=∠DCA，∠EDB=∠B，再利用等边三角形的性质和三角形外角性质计算出∠EDB=30°，则可判断△ACD为等腰直角三角形，从而得到∠A=45°．

【解析】
如图，由作法得PQ垂直平分AC，MN垂直平分BD，

∴DA=DC，EB=ED，

∴∠A=∠DCA，∠EDB=∠B，

∵△CDE为等边三角形，

∴∠CDE=∠DEC=60°，

而∠DEC=∠EDB+∠B，

∴∠EDB=×60°=30°，

∴∠CDB=90°，

∴△ACD为等腰直角三角形，

∴∠A=45°．

故答案为45°．