Question

如图，直线OD与x轴所夹的锐角为30°，OA₁的长为2，△A₁A₂B₁、△A₂A₃B₂、△A₃A₄B₃…△A_nA_n+1B_n均为等边三边形，点A₁、A₂、A₃…A_n﹣1在x轴正半轴上依次排列，点B₁、B₂、B₃…B_n在直线OD上依次排列，那么点B₂的坐标为____，点B_n的坐标为____．

Answer

（3，）（3×2n﹣2，×2n﹣2）

【解析】

根据等边三角形的性质和∠B1OA2=30°，可求得∠B1OA2=∠A1B1O=30°，可求得OA2=2OA1=2，同理可求得OAn=2n﹣1，再求出△AnBnAn+1的边长，进一步可求得点Bn的坐标．

∵△A1B1A2为等边三角形，∴∠B1A1A2=60°．

∵∠B1OA2=30°，∴∠B1OA2=∠A1B1O=30°，可求得：OA2=2OA1=2，同理可求得：OAn=2n﹣1．

∵∠BnOAn+1=30°，∠BnAnAn+1=60°，∴∠BnOAn+1=∠OBnAn=30°，∴BnAn=OAn=2n﹣1，即△AnBnAn+1的边长为2n﹣1，则可求得其高为×2n﹣1=×2n﹣2，∴点Bn的横坐标为×2n﹣1+2n﹣1=×2n﹣1=3×2n﹣2，∴点Bn的坐标为（3×2n﹣2，×2n﹣2），点B2的坐标为（3，）．

故答案为：（3，）；（3×2n﹣2，×2n﹣2）．