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如图1,在平面直角坐标系xOy中,直线l:与x轴、y轴分别交于点A和点B(0,﹣...

如图1,在平面直角坐标系xOy中,直线l:x轴、y轴分别交于点A和点B(0,﹣1),抛物线经过点B,且与直线l的另一个交点为C(4,n).

(1)求n的值和抛物线的解析式;

(2)点D在抛物线上,且点D的横坐标为t(0<t<4).DEy轴交直线l于点E,点F在直线l上,且四边形DFEG为矩形(如图2).若矩形DFEG的周长为p,求pt的函数关系式以及p的最大值;

(3)M是平面内一点,将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后,得到△A1O1B1,点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1.若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上,请直接写出点A1的横坐标.

 

(1)y=x2﹣x﹣1;(2) ;当t=2时,p有最大值;(3)或; 【解析】 (1)把点B的坐标代入直线解析式求出m的值,再把点C的坐标代入直线求解即可得到n的值,然后利用待定系数法求二次函数解析式解答; (2)令y=0求出点A的坐标,从而得到OA、OB的长度,利用勾股定理列式求出AB的长,然后根据两直线平行,内错角相等可得∠ABO=∠DEF,再解直角三角形用DE表示出EF、DF,根据矩形的周长公式表示出p,利用直线和抛物线的解析式表示DE的长,整理即可得到P与t的关系式,再利用二次函数的最值问题解答; (3)根据逆时针旋转角为90°可得A1O1∥y轴时,B1O1∥x轴,然后分①点O1、B1在抛物线上时,表示出两点的横坐标,再根据纵坐标相同列出方程求解即可;②点A1、B1在抛物线上时,表示出点B1的横坐标,再根据两点的纵坐标相差A1O1的长度列出方程求解即可. (1)∵直线l:y=x+m经过点B(0,﹣1), ∴m=﹣1, ∴直线l的解析式为y=x﹣1, ∵直线l:y=x﹣1经过点C(4,n), ∴n=×4﹣1=2, ∵抛物线y=x2+bx+c经过点C(4,2)和点B(0,﹣1), ∴, 解得, ∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣1; (2)令y=0,则x﹣1=0, 解得x=, ∴点A的坐标为(,0), ∴OA=, 在Rt△OAB中,OB=1, ∴AB=, ∵DE∥y轴, ∴∠ABO=∠DEF, 在矩形DFEG中,EF=DE•cos∠DEF=DE•, DF=DE•sin∠DEF=DE•, ∴p=2(DF+EF)=2(, ∵点D的横坐标为t(0<t<4), ∴D(t,t2﹣t﹣1),E(t,t﹣1), ∴DE=(t﹣1)﹣(t2﹣t﹣1)=﹣t2+2t, ∴p=×(﹣t2+2t)=﹣t2+t, ∵p=﹣(t﹣2)2+,且﹣<0, ∴当t=2时,p有最大值; (3)∵△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°, ∴A1O1∥y轴时,B1O1∥x轴,设点A1的横坐标为x, ①如图1,点O1、B1在抛物线上时,点O1的横坐标为x,点B1的横坐标为x+1, ∴x2﹣x﹣1=(x+1)2﹣(x+1)﹣1, 解得x=, ②如图2,点A1、B1在抛物线上时,点B1的横坐标为x+1,点A1的纵坐标比点B1的纵坐标大, ∴x2﹣x﹣1=(x+1)2﹣(x+1)﹣1+, 解得x=﹣, 综上所述,点A1的横坐标为或﹣.
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