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如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,△CDE是等边三角形,点...

如图,在△ABC中,∠ACB=90°,ABC=30°,CDE是等边三角形,点D在边AB上.

(1)如图1,当点E在边BC上时,求证DE=EB;

(2)如图2,当点E在△ABC内部时,猜想EDEB数量关系,并加以证明;

(3)如图3,当点E在△ABC外部时,EHAB于点H,过点EGEAB,交线段AC的延长线于点G,AG=5CG,BH=3.求CG的长.

 

(1)证明见解析;(2)ED=EB,证明见解析;(3)CG=2. 【解析】 试题(1)、根据等边三角形的性质得出∠CED=60°,从而得出∠EDB=30°,从而得出DE=BE;(2)、取AB的中点O,连接CO、EO,根据△ACO和△CDE为等边三角形,从而得出△ACD和△OCE全等,然后得出△COE和△BOE全等,从而得出答案;(3)、取AB的中点O,连接CO、EO、EB,根据题意得出△COE和△BOE全等,然后得出△CEG和△DCO全等,设CG=a,则AG=5a,OD=a,根据题意列出一元一次方程求出a的值得出答案. 试题解析:(1)、证明:∵△CDE是等边三角形, ∴∠CED=60°, ∴∠EDB=60°﹣∠B=30°, ∴∠EDB=∠B, ∴DE=EB; (2)、【解析】 ED=EB, 理由如下:取AB的中点O,连接CO、EO, ∵∠ACB=90°,∠ABC=30°, ∴∠A=60°,OC=OA, ∴△ACO为等边三角形, ∴CA=CO, ∵△CDE是等边三角形, ∴∠ACD=∠OCE,∴△ACD≌△OCE, ∴∠COE=∠A=60°,∴∠BOE=60°, ∴△COE≌△BOE, ∴EC=EB, ∴ED=EB; (3)、取AB的中点O,连接CO、EO、EB, 由(2)得△ACD≌△OCE, ∴∠COE=∠A=60°,∴∠BOE=60°,△COE≌△BOE,∴EC=EB,∴ED=EB, ∵EH⊥AB, ∴DH=BH=3,∵GE∥AB, ∴∠G=180°﹣∠A=120°, ∴△CEG≌△DCO, ∴CG=OD, 设CG=a,则AG=5a,OD=a,∴AC=OC=4a,∵OC=OB, ∴4a=a+3+3, 解得,a=2, 即CG=2.  
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