Question

如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处．

（1）如图1，若折痕，且，求矩形ABCD的周长；

（2）如图2，在AD边上截取DG=CF，连接GE，BD，相交于点H，求证：BD⊥GE．

Answer

（1）36；（2）答案见解析．

【解析】

（1）设EC=3k，则FC=4k，EF=5k，然后判断出∠BAF=∠EFC，利用三角函数的知识表示出BF、AF，结合AE的长．在Rt△AFE中利用勾股定理可求出矩形ABCD的边长，继而可得出周长．

（2）根据题意可得GD=FC，DE=EF，然后表示出cos∠EFC，及cos∠BAF，根据∠BAF=∠EFC，可得出一对相等的比例关系，继而可判断出△DBA∽△EGD，得出∠DBA=∠EGD，然后利用等量代换可确定结论．

（1）设EC=3k，由tan∠EFC=，则FC=4k，EF=5k．

∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC=8k．

∵∠AFE=∠D=90°，∴∠AFB+∠EFC=90°．

∵∠B=90°，∴∠BAF+∠AFB=90°，∴∠BAF=∠EFC，∴tan∠BAF=，∴BF=6k，AF=10k．在Rt△AFE中，AF2+EF2=AE2，AE=5，∴100k2+25k2=（5）2，解得：k=1，∴AB=DC=8，BC=AD=AF=10，所以矩形ABCD的周长为36．

（2）∵GD=FC，DE=EF，∴cos∠EFC==．

∵cos∠BAF==，∠BAF=∠EFC，∴=，∴△DBA∽△EGD，∴∠DBA=∠EGD．

∵∠DBA+∠ADB=90°，∴∠DGH+∠GDH=90°，∴∠GHD=90°，∴BD⊥GE．