Question

如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OA，垂足为点M，连接并延长CO交⊙O于点E，分别连接DE，BE，DB，其中∠EDB=30°，∠CDE的平分线DN交CE于点G，交⊙O于点N，延长CE至点F，使FG=FD．

（1）求证：DF是⊙O的切线；

（2）若⊙O半径r为8，求线段DB，BE与劣弧DE所围成的阴影部分的面积．

Answer

（1）证明见解析；（2）线段DB，BE与劣弧DE所围成的阴影部分的面积是.

【解析】

（1）连接OD，分别求∠ODN=45°-30°=15°，和∠FDG=∠FGD=75°，相加可得结论；

（2）先证明DE∥AB，S△DOE=S△ODE，所以S阴影=S扇形ODE；根据扇形面积公式可得结论．

（1）证明：连接OD，

∵CD垂直平分OA，

∴OM=OA=OD，

∴∠ODC=30°，

∵CE为⊙O的直径，

∴∠CDE=90°，

∵DN平分∠CDE，

∴∠CDN=45°，

∴∠ODN=45°﹣30°=15°，

∵OD=OC，

∴∠DCO=∠ODC=30°，

∴∠FGD=45°+30°=75°，

∵FD=FG，

∴∠FDG=∠FGD=75°，

∴∠ODF=∠ODN+∠FDG=15°+75°=90°，

∴DF是⊙O的切线；

（2）∵∠EDB=30°，

∴∠EOB=60°，

Rt△CDE中，∠DEC=60°，

∴∠DEC=∠EOB=60°，

∴DE∥AB，

∴S△DOE=S△ODE，

∴S阴影=S扇形ODE=.

答：线段DB，BE与劣弧DE所围成的阴影部分的面积是.