Question

如图，已知二次函数y＝ax²＋bx＋4的图象与x轴交于点B(－2，0)，点C(8，0)，与y轴交于点A.

(1)求抛物线的解析式；

(2)连接AC，AB，若点N在线段BC上运动(不与点B，C重合)，过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求N点的坐标；

(3)连接OM，在(2)的结论下，求OM与AC的数量关系．

Answer

（1）y＝－x2＋x＋4；（2）当n＝3时，即N(3，0)时，△AMN的面积最大；（3）OM＝AC.

【解析】

试题（1）由B、C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

（2）可设N（n，0），则可用n表示出△ABN的面积，由NM∥AC，可求得，则可用n表示出△AMN的面积，再利用二次函数的性质可求得其面积最大时n的值，即可求得N点的坐标；

（3）由N点坐标可求得M点为AB的中点，由直角三角形的性质可得OM=AB，在Rt△AOB和Rt△AOC中，可分别求得AB和AC的长，可求得AB与AC的关系，从而可得到OM和AC的数量关系．

试题解析：（1）将点B，点C的坐标分别代入y=ax2+bx+4可得

，

解得，

∴二次函数的表达式为y=﹣x2+x+4；

（2）设点N的坐标为（n，0）（﹣2＜n＜8），

则BN=n+2，CN=8﹣n．

∵B（﹣2，0），C（8，0），

∴BC=10，

在y=﹣x2+x+4中，令x=0，可解得y=4，

∴点A（0，4），OA=4，

∴S△ABN=BN•OA=（n+2）×4=2（n+2），

∵MN∥AC，

∴

∴，

∴

∵﹣＜0，

∴当n=3时，即N（3，0）时，△AMN的面积最大；

（3）当N（3，0）时，N为BC边中点，

∵MN∥AC，

∴M为AB边中点，

∴OM=AB，

∵AB=，AC=，

∴AB=AC，

∴OM=AC．