Question

如图，已知正方形ABCD的边长是4，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B作BG⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值为_____．

Answer

2-2

【解析】作DC关于AB的对称点D′C′，以BC中的O为圆心作半圆O，连D′O分别交AB及半圆O于P、G．将PD+PG转化为D′G找到最小值．

取点D关于直线AB的对称点D′，以BC中点O为圆心，OB为半径画半圆，

连接OD′交AB于点P，交半圆O于点G，连BG，连CG并延长交AB于点E，

由以上作图可知，BG⊥EC于G，

PD+PG=PD′+PG=D′G，

由两点之间线段最短可知，此时PD+PG最小，

∵D′C=4，OC′=6，

∴D′O=，

∴D′G=-2，

∴PD+PG的最小值为-2，

故答案为：-2.