Question

边长为a的正方形ABCD中，点E是BD上一点，过点E作EF⊥AE交射线CB于点F，连结CE．

（1）若点F在边BC上（如图）；

①求证：CE=EF；

②若BC=2BF，求DE的长．

（2）若点F在CB延长线上，BC=2BF，请直接写出DE的长．

Answer

（1）①证明见解析；②DE=；（2）DE=.

【解析】

（1）①根据正方形的轴对称性可得△ABE≌△CBE，从而可得∠BAE=∠BCE，再根据∠ABC=∠AEF=90°，可得∠BAE=∠EFC，继而可得∠BCE=∠EFC，根据等角对等边即可得CE=EF；

②过点E作MN⊥BC，垂直为N，交AD于M，根据等腰三角形的性质结合已知条件可得，再根据四边形CDMN是矩形，△DME为等腰直角三角形，继而可求得ED的长；

（2）如图所示：过点E作MN⊥BC，垂直为N，交AD于M，由正方形的对称性可得△ABE≌△CBE，从而得∠BAE=∠BCE，继而由已知可得CE=EF，可得FN=CN，根据BC=2BF，可得FC=a，继而可得EN=BN=a，由此即可求得DE=a．

（1）①∵正方形ABCD关于BD对称，

∴△ABE≌△CBE，

∴∠BAE=∠BCE．

又∵∠ABC=∠AEF=90°，

∴∠BAE=∠EFC，

∴∠BCE=∠EFC，

∴CE=EF；

②过点E作MN⊥BC，垂直为N，交AD于M，

∵CE=EF，

∴N是CF的中点，

∵BC=2BF，

∴，

又∵四边形CDMN是矩形，△DME为等腰直角三角形，

∴CN=DM=ME，

∴ED=DM=CN=a；

（2）如图所示：过点E作MN⊥BC，垂直为N，交AD于M，

∵正方形ABCD关于BD对称，

∴△ABE≌△CBE，

∴∠BAE=∠BCE．

又∵∠ABF=∠AEF=90°，

∴∠BAE=∠EFC，

∴∠BCE=∠EFC，

∴CE=EF．

∴FN=CN．

又∵BC=2BF，

∴FC=a，

∴CN=a，

∴EN=BN=a，

∴DE=a．