Question

如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC于点D，点E是线段AD上一点，以点E为圆心，r为半径作⊙E．若⊙E与边AB，AC相切，而与边BC相交，则半径r的取值范围是（　　）

A. r＞    B. ＜r≤4    C. ＜r≤4    D. ＜r≤

Answer

D

【解析】

作EH⊥AB于H，如图，设⊙E的半径为r，根据等腰三角形的性质可求得AD=4，根据⊙E与边AB，AC相切，而与边BC相交，可得EH=r，DE＜r，根据已知可证明△AHE∽△ADB，由相似三角形的性质可得，继而可得AE=r，DE=4﹣r，从而可得4﹣r＜r且r≤4，由此即可求得答案.

作EH⊥AB于H，如图，设⊙E的半径为r，

∵AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC，

∴BD=CD=3，AD平分∠BAC，

∴AD==4，

∵⊙E与边AB，AC相切，而与边BC相交，

∴EH=r，DE＜r，

∵∠HAE=∠DAB，

∴△AHE∽△ADB，

∴，即，

∴AE=r，

∴DE=4﹣r，

∴4﹣r＜r且r≤4，

∴＜r≤，

故选D．