Question

如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：

①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP； ⑤∠AOB=60°．

其中正确的结论的个数是（   ）

A. 2个    B. 3个    C. 4个    D. 5个

Answer

C

【解析】

试题已知△ABC、△DCE为正三角形， 故∠DCE=∠BCA=60°，∴∠DCB=60°，

又因为∠DPC=∠DAC+∠BCA，∠BCA=60°，∴∠DPC＞60°， 故DP不等于DE，④错．

∵△ABC、△DCE为正三角形， ∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，DC=EC， ∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，

∴∠ACD=∠BCE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴∠CAD=∠CBE，AD=BE，故①正确；

∴∠AOB=∠CAD+∠CEB=∠CBE+∠CEB， ∵∠ACB=∠CBE+∠CEB=60°， ∴∠AOB=60°，故⑤正确；

∵∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠BCD=60°， ∴∠ACP=∠BCQ， ∵AC=BC，∠DAC=∠QBC，

∴△ACP≌△BCQ（ASA）， ∴AP=BQ，故③正确.