Question

如图,AD是Rt△ABC斜边BC上的高.

（1）尺规作图:作∠C的平分线,交AB于点E,交AD于点F（不写作法,必须保留作图痕迹,标上应有的字母）;

（2）在（1）的条件下,过F画BC的平行线交AC于点H,线段FH与线段CH的数量关系如何?请予以证明;

（3）在（2）的条件下,连结DE､DH.求证:ED⊥HD.

Answer

(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析.

【解析】

（1）按作角的平分线的尺规作图方法作出相应的图形，并标上相应的字母即可；

（2）如图2，由已知条件易得∠1=∠2，∠1=∠3，从而可得∠2=∠3，由此即可得到FH=CH；

（3）如图3，由已知条件易证∠4=∠5，从而可得AE=AF，由FH∥CD可得△AFH∽△ADC，由此可得结合FH=CH，AE=AF可得，再证∠EAD=∠HCD，即可得到△EAD∽△HCD，从而可得∠7=∠8，结合AD⊥BC即可得到∠EDH=90°，由此即可得到DE⊥DH.

（1）如下图1所示，线段CE为所求的△ABC的角平分线；

（2）FH=CH，理由如下：

如图2，∵FH∥BC，

∴∠1=∠3，

∵CE平分∠ACB，

∴∠1=∠2，

∴∠2=∠3，

∴FH=CH（等角对等边）；

（3）如图3，∵EA⊥CA，

∴∠EAC=90°，

∴∠2+∠5=90°，

∵AD⊥DC，

∴∠ADC=90°，

∴∠1+∠6=90°，

∴∠2+∠5=∠1+∠6，

又∵∠1=∠2，

∴∠5=∠6，

∵∠6=∠4，

∴∠5=∠4，

∴AE=AF（等角对等边），

∵FH∥BC，

∴AFH∽△ADC，

∴=，

∵FH=CH，

∴得=，

∵∠EAD+∠DAC=90°，∠HCD+∠DAC=90°，

∴∠EAD=∠HCD，

∴△EAD∽△HCD（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），

∴∠7=∠8，

∵∠8+∠HDA=90°，

∴∠7+∠HDA=90°，即∠EDH=90°，

∴ED⊥HD