Question

如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的⊙O与AD，AC分别交于点E，F，且∠ACB=∠DCE，tan∠ACB=，BC=2cm．以下结论：

①CD=cm； ②AE=DE； ③CE是⊙O的切线； ④⊙O的面积等于cm²．其中正确的结论有_____．（填序号）

Answer

①②③．

【解析】

根据正切的定义可以求出AB，由矩形的性质得到CD长，判断①；根据正切的定义求出DE和AE，判断②；根据切线的判定定理判断③；求出⊙O的半径，求出面积，判断④.

∵tan∠ACB=，

∴=，又BC=2cm，

解得AB=cm，即CD=cm，①正确；

∵∠ACB=∠DCE，tan∠ACB=，

∴tan∠DCE=，即=，

解得，DE=1，

∵BC=2，

∴AE=1，

∴AE=DE，②正确；

∵四边形ABCD是矩形，

∴BC∥AD，∠ACB=∠DAC；

又∵∠ACB=∠DCE，

∴∠DAC=∠DCE；

连接OE，则∠DAC=∠AEO=∠DCE；

∵∠DCE+∠DEC=90°，

∴∠AE0+∠DEC=90°，

∴∠OEC=90°，即OE⊥CE，

又OE是⊙O的半径，

∴直线CE与⊙O相切，③正确；

在Rt△ADC中，AC=，

在Rt△CEO中，CE2+OE2=OC2，即（）2+12+OE2=（﹣OE）2，

解得，OE=，

④⊙O的面积=π×（）2=π，④错误，

故答案为：①②③．