Question

如图，AB是⊙O的直径，且AB=4，点C在半径OA上（点C与点O、A不重合），过点C作AB的垂线交⊙O于点D，连接OD，过点B作OD的平行线交⊙O于点E，交CD的延长线于点F．

（1）若∠F=30°，请证明E是 的中点；

（2）若AC=，求BE•EF的值．

Answer

（1）证明见解析；（2）BE•EF=5．

【解析】

（1）连接OE，如图1所示，根据已知条件易证△OBE为等边三角形，即可得∠OEB=∠BOE=60°．又因OD∥BF，根据平行线的性质可得∠DOE=∠BEO=∠BOE=60°，即可得；（2）过点Q作OM⊥BE于M，如图2所示，先证明△OBM≌△DOC，可得BE=2OC=3；再证明△COD∽△CBF，根据相似三角形的性质求得BF=，即可得EF=BF﹣BE=，所以BE•EF=3×=5．

（1）证明：连接OE，如图1所示．

∵CF⊥AB，

∴∠FCB=90°．

∵∠F=30°，

∴∠OBE=60°．

∵OB=OE，

∴△OBE为等边三角形，

∴∠OEB=∠BOE=60°．

∵OD∥BF，

∴∠DOE=∠BEO=∠BOE=60°，

∴=．

（2）过点Q作OM⊥BE于M，如图2所示．

∵OB=OE，

∴BE=2BM．

∵OD∥BF，

∴∠COD=∠B．

在△OBM和△DOC中，，

∴△OBM≌△DOC（AAS），

∴BM=OC=2﹣=，

∴BE=2OC=3．

∵OD∥BF，

∴△COD∽△CBF，

∴=，即=，

∴BF=，

∴EF=BF﹣BE=﹣3=，

∴BE•EF=3×=5．