Question

如图，已知二次函数y=ax²+2x+c的图象经过点C（0，3），与x轴分别交于点A，点B（3，0）．点P是直线BC上方的抛物线上一动点．

（1）求二次函数y=ax²+2x+c的表达式；

（2）连接PO，PC，并把△POC沿y轴翻折，得到四边形POP′C．若四边形POP′C为菱形，请求出此时点P的坐标；

（3）当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积．

Answer

（1）y=﹣x2+2x+3；（2）（，）；（3）当点P的坐标为（，）时，四边形ACPB的最大面积值为.

【解析】

（1）已知二次函数上两点的坐标，利用待定系数法求解二次函数的解析式。

（2）根据菱形的对角线互相垂直且平分，可得P点的纵坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标；

（3）根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PQ的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案．

【解析】
（1）将点B和点C的坐标代入函数解析式，得

，

解得，

二次函数的解析是为y=﹣x2+2x+3；

（2）若四边形POP′C为菱形，则点P在线段CO的垂直平分线上，

如图1，连接PP′，则PE⊥CO，垂足为E，

∵C（0，3），

∴E（0，），

∴点P的纵坐标，

当y=时，即﹣x2+2x+3=，

解得x1=，x2=（不合题意，舍），

∴点P的坐标为（，）；

（3）如图2，

P在抛物线上，设P（m，﹣m2+2m+3），

设直线BC的解析式为y=kx+b，

将点B和点C的坐标代入函数解析式，得

，

解得．

直线BC的解析为y=﹣x+3，

设点Q的坐标为（m，﹣m+3），

PQ=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m．

当y=0时，﹣x2+2x+3=0，

解得x1=﹣1，x2=3，

OA=1，

AB=3﹣（﹣1）=4，

S四边形ABPC=S△ABC+S△PCQ+S△PBQ

=AB•OC+PQ•OF+PQ•FB

=×4×3+（﹣m2+3m）×3

=﹣（m﹣）2+，

当m=时，四边形ABPC的面积最大．

当m=时，﹣m2+2m+3=，即P点的坐标为（，）．

当点P的坐标为（，）时，四边形ACPB的最大面积值为．