Question

已知：如图，二次函数图象的顶点坐标为C（1，﹣2），直线y=kx+m的图象与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点坐标为（3，0），B点在y轴上．点P为线段AB上的一个动点（点P与点A、B不重合），过点P且垂直于x轴的直线与这个二次函数的图象交于点E．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）设点P的横坐标为x，求线段PE的长（用含x 的代数式表示）；

（3）点D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，若以点P、E、D为顶点的三角形与△AOB相似，请求出P点的坐标．

Answer

（1）y=（x﹣1）2﹣2；（2）PE=﹣x2+x；（3）P点坐标为（﹣1，）或（1+，﹣1）．

【解析】

(1)利用待定系数法求二次函数解析式.(2)先求出直线AB方程，再求出PE长.(3)利用相似的性质，列比例式，再代入，解方程，可求出P点坐标.

（1）设二次函数的解析式为y=a（x﹣1）2﹣2，

∵A（3，0）在抛物线上，

∴0=a（3﹣1）2﹣2

∴a=，

∴y=（x﹣1）2﹣2，

（2）抛物线与y轴交点B的坐标为（0，），

设直线AB的解析式为y=kx+m，

∴,

∴,

∴直线AB的解析式为y=.

∵P为线段AB上的一个动点，

∴P点坐标为（x， x﹣.）．（0＜x＜3）

由题意可知PE∥y轴，∴E点坐标为（x，x2﹣x﹣），

∵0＜x＜3，

∴PE=（.）﹣（x2﹣x﹣）=﹣x2+.

（3）由题意可知D点横坐标为x=1，又D点在直线AB上，

∴D点坐标（1，﹣1）．

当∠EDP=90°时，△AOB∽△EDP，

∴.

过点D作DQ⊥PE于Q，

∴xQ=xP=x，yQ=﹣1，

∴△DQP∽△AOB∽△EDP，

∴,

又OA=3，OB=，AB=,

又DQ=x﹣1，

∴DP=（x﹣1），

∴,

解得：x=﹣1±（负值舍去）．

∴P（﹣1，）（如图中的P1点）；

②当∠DEP=90°时，△AOB∽△DEP，

∴.

由（2）PE=﹣x2+.，DE=x﹣1，

∴

解得：x=1±，（负值舍去）．

∴P（1+，﹣1）（如图中的P2点）；

综上所述，P点坐标为（﹣1，）或（1+，﹣1）．