Question

已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．

（1）求证：EG=CG且EG⊥CG；

（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？

Answer

【解析】
（1）CG=EG

（2）（1）中结论没有发生变化，即EG=CG．

证明：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．

在△DAG与△DCG中，

∵ AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，

∴ △DAG≌△DCG．

∴ AG=CG．

在△DMG与△FNG中，

∵ ∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，

∴ △DMG≌△FNG．

∴ MG=NG

在矩形AENM中，AM=EN．

在Rt△AMG 与Rt△ENG中，

∵ AM=EN， MG=NG，

∴ △AMG≌△ENG．

∴ AG=EG

∴ EG=CG．

（3）（1）中的结论仍然成立．

【解析】

试题（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG=EG．

（2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点；再证明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再证出△DMG≌△FNG，得到MG=NG；再证明△AMG≌△ENG，得出AG=EG；最后证出CG=EG．

（3）结论依然成立．还知道EG⊥CG;

试题解析：

【解析】
（1）证明：在Rt△FCD中，

∵G为DF的中点，

∴ ，

同理，在Rt△DEF中， ，

∴CG=EG；

（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG；

连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点，如图所示：

在△DAG与△DCG中，

∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DC=DC，

∴△DAG≌△DCG，

∴AG=CG，

在△DMG与△FNG中，

∵∠DGM=∠FGN，DG=FG，∠MDG=∠NFG，

∴△DMG≌△FNG，

∴MG=NG，

在矩形AENM中，AM=EN.，

在Rt△AMG与Rt△ENG中，

∵AM=EN，MG=NG，

∴△AMG≌△ENG，

∴AG=EG，

∴EG=CG，

（3）（1）中的结论仍然成立，即EG=CG且EG⊥CG。

过F作CD的平行线并延长CG交于M点，连接EM、EC，过F作FN垂直于AB于N，如图所示：

由于G为FD中点，易证△CDG≌△MFG，得到CD=FM，

又因为BE=EF，易证∠EFM=∠EBC，则△EFM≌△EBC，∠FEM=∠BEC，EM=EC

∵∠FEC+∠BEC=90°，

∴∠FEC+∠FEM=90°，即∠MEC=90°，

∴△MEC是等腰直角三角形，

∵G为CM中点，

∴EG=CG，EG⊥CG。