Question

如图，在△ABC中，按以下步骤作图：分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，弧线两两交于M、N两点，作直线MN，与边AC、BC分别交于D、E两点，连接BD、AE，若∠BAC=90°，在下列说法中：

①E为△ABC外接圆的圆心；

②图中有4个等腰三角形；

③△ABE是等边三角形；

④当∠C=30°时，BD垂直且平分AE．

其中正确的有（　　）

A. 1个    B. 2个    C. 3个    D. 4个

Answer

B

【解析】

利用线段垂直平分线的性质，可以证明三角形外接圆,根据圆内的直角，特殊角，可以得到线段长度的关系.

【解析】
由作法得MN垂直平分BC，则BE=CE，DB=DC，

∵∠BAC=90°，

∴BC为△ABC外接圆的直径，E点为△ABC外接圆的圆心，所以①正确；

∵AE=BE=CE，DB=DC，

∴△ABE、△AEC和△DBC都为等腰三角形，所以②错误；

只有当∠ABC=60°时，△ABE是等边三角形，所以③错误；

当∠C=30°时，∠ABC=60°，则△ABE是等边三角形，而∠DBC=∠C=30°，所以BD为角平分线，所以BD⊥AE，所以④正确．

故选：B．