Question

已知：如图①，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D，且AB=5，AD=4，在AD上取一点G，使AG=，点P是折线CB﹣BA上一动点，以PG为直径作⊙O交AC于点E，连结PE．

（1）求sinC的值；

（2）当点P与点B重合时如图②所示，⊙O交边AB于点F，求证：∠EPG=∠FPG；

（3）点P在整个运动过程中：

①当BC或AB与⊙O相切时，求所有满足条件的DE长；

②点P以圆心O为旋转中心，顺时针方向旋转90°得到P′，当P′恰好落在AB边上时，求△OPP′与△OGE的面积之比（请直接写出答案）．

Answer

（1）sin∠C=；（2）证明见解析；（3）①DE长为或或；②满足条件的△OPP′与△OGE的面积之比为25：24或25：7．

【解析】

（1）易证∠C=∠ABD，则sin∠C=sin∠ABD==；

（2）连接CF，根据圆周角定理得∠BFG=∠AFG=90°，则sinA=，可求得FG=，再求出DG=AD﹣AG=4﹣=，则FG=DG，即可得证；

（3）①⊙O与AB相切有两种情况，与BC相切有一种情况，如图3、4、5，灵活运用切线的性质，三角函数与勾股定理分别求解即可；

②如图3中，用（2）可知，点P以圆心O为旋转中心，顺时针方向旋转90°得到P，

当P恰好落在AB边上时，此时△OPP′与△OGE的面积之比=××：×××=25：24；

如图6中，当△POH是等腰直角三角形时，连接PE，利用相似三角形的性质求得AE=，PE=，即GE=AE﹣AG=，则△OPP′与△OGE的面积之比=××：×××=25：7.

（1）∵BD⊥AC，

∴∠ADB=90°，

∵∠ABC=90°，

∴∠C+∠A=90°，∠A+∠ABD=90°，

∴∠A=∠ABD，

∴sin∠C=sin∠ABD==；

（2）如图2中，连接GF,

在Rt△ABD中，BD==3，

∵BG是直径，

∴∠BFG=∠AFG=90°，

∴sinA=，即，

∴FG=，

∵DG=AD﹣AG=4﹣=，

∴GD=GF，

∴∠EPG=∠FPG；

（3）①如图3中，当⊙O与BC相切时，作OH⊥AB于H，

∵∠OPB=∠PBH=∠OHB=90°，

∴四边形PBHO是矩形，

∵∠C+∠A=90°，∠DBA+∠A=90°，

∴∠C=∠ABD，∵∠BDC=∠BDA，

∴△BDC∽△ADB，

∴BD2=CD•AD，

∴CD=，

∴BC==，

∵BC是切线，

∴GP⊥BC，

∴GPC=∠ABC=90°，

∴GP∥AB，

∴∠CGP=∠A，

∴sin∠A=sin∠PGC，

∴，即，

∴PC=，

∴PB=BC﹣PC=，

∴PG==3，

∴OH=PB=，

∴此时⊙O与AB相切，连接PE，

∵PG是⊙O的直径，

∴∠PEG=90°，

∴∠PEC=∠CDB=90°，

∴PE∥BD，

∴DE：CD=PB：BC，

∴DE： =：，

∴DE=；

如图4中，当点P在AB上，⊙O与BC相切时，设切点为T，连接OT，GH，延长TO交GH于N，连接PE，

易证四边形BTNH是矩形，

由（1）可知：GH=，AH=2，BH=3，GN=NH=，设OT=OG=m，

在Rt△OGN中，∵OG2=ON2+GN2，

∴m2=（3﹣m）2+（）2，

∴m=，

∴ON=，

∵OG=OP，GN=NH，

∴PH=2ON=，

∴PA=PH+AH=，

∵PE∥BD，

∴=，即=，

∴AE=，

∴DE=AD﹣AE=4﹣=；

如图5中，当⊙O与AB相切时，GP⊥AB，连接PH，

∵HE⊥AG，

∴∠PEG=∠APG=90°，∵∠AGP=∠PGE，

∴△PGE∽△AGH，

∴PG2=GE•GA，

∴GE=，

∴DE=DG+GE=+=；

综上所述，当BC或AB与⊙O相切时，满足条件的DE长为或或；

②如图3中，用（2）可知，点P以圆心O为旋转中心，顺时针方向旋转90°得到P，

当P恰好落在AB边上时，

此时△OPP′与△OGE的面积之比=××：×××=25：24；

如图6中，当△POH是等腰直角三角形时，满足条件；

连接PE，

∵PH=GH=，AH=2，

∴PA=，OP=OH=，

∵PE∥BD，

∴PA：AB=AE：AD=PE：BD，

∴：5=AE：4=PE：3，

∴AE=，PE=，

∴GE=AE﹣AG=，

∴△OPP′与△OGE的面积之比=××：×××=25：7；

综上所述，满足条件的△OPP′与△OGE的面积之比为25：24或25：7．