Question

某建筑商承接一条道路的铺设工程，需购置一批大小相同的花岗石板，它的长为160cm将这批花岗石板按如图①所示的两种方案进行切割（不计损耗，余料不再利用），切割后的M型和N型小花岗石板可拼成如图②所示的正方形（该图案不重叠无缝隙），图③的道路由若干个图②的正方形拼接而成（该图案不重叠无缝隙）．

（1）M型小花岗石板的长AB=　   　cm，宽AC=　   　cm．

（2）现有110块花岗石板切割后恰好拼成若干个图②所示的正方形，并将这些正方形铺设成图③的道路，能铺设多少米？

（3）现有a张花岗石板，用方案甲切割；b张花岗石板，用方案乙切割，同时从外地材料公司调来M型小花岗石板64块．用完现有的M型和N型小花岗石板恰好能完整拼成如图③的道路图案，若61≤a≤69，则道路最多能铺设多少米？

Answer

（1）80，20；（2）共铺设100米；（3）道路最多能铺设97米．

【解析】

（1）由图①方案乙可求得AB的长，由方案甲可求得AC的长；

（2）设x块花岗石板用方案甲切割，（110﹣x）块花岗石板用方案乙切割，根据图①，图②可得方程[3x+4（110﹣x）]：[4x+2（110﹣x）]=4：3，求解方程得到x的值，再根据图③中M型石板的数量求解即可；

（3）由题意M型小花岗石板有：（3a+4b+64）块，N型小花岗石板有：（4a+2b）块，整理可得a=b+48，根据题意可知3a+4b+64是4的倍数，则当a=68时，道路铺设最长，然后同（2）即可求得答案.

（1）由题意AB=160÷2=80（cm），AC=80÷4=20（cm），

故答案为80，20；

（2）设x块花岗石板用方案甲切割，（110﹣x）块花岗石板用方案乙切割，

由题意：[3x+4（110﹣x）]：[4x+2（110﹣x）]=4：3，

解得x=40，

∴共有3×40+4（110﹣40）=400块M型小花岗石板，

400÷4=100，100×（80+20）=10000（cm）=100（m）

答：共铺设100米；

（3）由题意M型小花岗石板有：（3a+4b+64）块，N型小花岗石板有：（4a+2b）块，

由题意：（3a+4b+64）：（4a+2b）=4：3，

整理得：a=b+48，

∵61≤a≤69，用完现有的M型和N型小花岗石板恰好能完整拼成如图③的道路图案，

∴3a+4b+64是4的倍数，

当a=68时，道路铺设最长，

∴a=68，b=20，

∴共有3×68+4×20+64=348，

348÷4=87，

87×100=9700（cm）=97（m），

答：道路最多能铺设97米．