Question

如图，抛物线y=﹣x²+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，它的对称轴与x轴交于点F，过点C作CE∥x轴交抛物线于另一点E，连结EF，AC．

（1）求该抛物线的表达式及点E的坐标；

（2）在线段EF上任取点P，连结OP，作点F关于直线OP的对称点G，连结EG和PG，当点G恰好落到y轴上时，求△EGP的面积．

Answer

（1）y=﹣x2+2x+3，E（2，3）；（2）1.

【解析】

（1）用待定系数法即可求得抛物线的表达式，根据点E与点C是对称点即可得到E点坐标；

（2）连接FG，过P作PM⊥x轴于M，过E作EN⊥x轴于N，则PM∥EN，易得△CEG与△OFG为等腰直角三角形，则∠EGF=90°，易得EF的解析式为：y=3x﹣3，△POM是等腰直角三角形，可求得P（，），即点P为EF的中点，则S△EGP=S△EGF，再根据三角形的面积公式求解即可.

（1）把A（﹣1，0），C（0，3）两点代入抛物线y=﹣x2+bx+c中得：

，

解得：，

∴该抛物线的表达式为：y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴对称轴是：x=1，

∵CE∥x轴，

∴点C与点E是对称点，

∴E（2，3）；

（2）连接FG，过P作PM⊥x轴于M，过E作EN⊥x轴于N，则PM∥EN，

∵F与G关于OP对称，且G在y轴上，

∴OF=OG=1，

∴FG=，∠OGF=45°，

∵OC=3，

∴CG=3﹣1=2=CE，

∴△ECG是等腰直角三角形，

∴EG=2，∠CGE=45°，

∴∠EGF=90°，

∵E（2，3），F（1，0），

易得EF的解析式为：y=3x﹣3，

设P（x，3x﹣3），

∵∠POM=45°，

∴△POM是等腰直角三角形，

∴PM=OM，即x=3x﹣3，

解得：x=，

∴P（，），

∴FM=MN=，

∵PM∥EN，

∴FP=EP，

∴S△EGP=S△EGF==1.