Question

如图，以AB为直径作⊙O，点C为⊙O上一点，劣弧CB沿BC翻折，交AB于点D，过A作⊙O的切线交DC的延长线于点E．

（1）求证：AC=CD；

（2）已知tanE=，AC=2，求⊙O的半径．

Answer

（1）证明见解析；（2）⊙O的半径为．

【解析】

（1）根据折叠的性质与圆周角定理即可得证；

（2）根据切线的性质与圆周角定理易证∠E=∠ABC，则在Rt△ABC利用三角形函数与勾股定理求得AB=2，即⊙O的半径为．

（1）如图所示：

∵点D与点D′关于CB对称，

∴CD=CD′，∠DBC=∠D′BC，

∴AC=CD′，

∴AC=CD；

（2）∵AE为⊙O的切线，

∴∠BAE=90°，

∴∠E+∠ADC=90°，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠ABC+∠CAB=90°，

∵AC=CD，

∴∠CAB=∠ADC，

∴∠E=∠ABC，

∴tanE=tan∠ABC==，

∵AC=2，

∴BC=4，

则AB=，

∴⊙O的半径为．