Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x²+bx+c的图象与x轴交于点A（2，0）、B（﹣4，0），与y轴交于点D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接BD，点P在抛物线的对称轴上，以Q为平面内一点，四边形PBQD能否成为矩形？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由；

（3）在抛物线上有一点M，过点M、A的直线MA交y轴于点C，连接BC，若∠MBO=∠BCO，请直接写出点M的坐标．

    

Answer

（1）y=x2+x﹣4；（2）满足条件的P的坐标为（﹣1，﹣2+）或（﹣1．﹣2﹣）；（3）满足条件的点M坐标（﹣2，﹣4）或（0，﹣4）或（﹣1+，4）.

【解析】(1)、利用待定系数法求出函数解析式；(2)、分BD为矩形的边和BD为矩形的对角线两种情况分别求出点P的坐标；(3)、设M（m，m2+m﹣4），设直线AM的解析式为y=kx+b，然后求出直线AM的解析式，然后分点M所在的象限，证明出△MNB和△BOC相似，从而分别得出点M的坐标．

(1)、由题意，解得，∴抛物线的解析式为y=x2+x﹣4．

（2）如图1中，当BD为矩形的边时，∵直线BD的解析式为y=﹣x﹣4，

∴直线BP的解析式为y=x=4，直线 DP′的解析式为y=x﹣4，

可得P（﹣1，3），P′（﹣1，﹣5）．

当BD为矩形的对角线时，设P（﹣1，m），BD的中点N（﹣2，﹣2），由BN=P″N，

可得12+（m+2）2=（2）2， 解得m=﹣2+或﹣2﹣，

∴P″（﹣1，﹣2+），或（﹣1．﹣2﹣），

∴要使四边形PBQD能成为矩形，满足条件的点P坐标为（﹣1，﹣2+）或（﹣1．﹣2﹣）．

综上所述，满足条件的P的坐标为（﹣1，﹣2+）或（﹣1．﹣2﹣）．

（3）设M（m，m2+m﹣4），设直线AM的解析式为y=kx+b，则有，

解得，∴直线AM的解析式为y=x﹣m﹣4，∴C（0，﹣m﹣4）．

①点M在第二象限显然不可能，当点M在第三象限时，如图2中，作MN⊥OB于N．

∵∠MBN=∠BCO，∠MNB=∠BOC=90°，∴△MNB∽△BOC，∴，

∴=，∴m=﹣2或0．∴M（﹣2，﹣4）或（0，﹣4）．

②当点M在第一象限时，同法可得=，整理得：m2+2m﹣16=0，

∴m=﹣1+或﹣1﹣（舍弃），∴M（﹣1+，4），

③当点M在第四象限时，不存在，

综上所述，满足条件的点M坐标（﹣2，﹣4）或（0，﹣4）或（﹣1+，4）．