Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点O是AC边延长线上的一点，以点O为圆心的圆与射线AC交于点D和点H，过点D作DF∥AB，DF交⊙O于点F，交BC边于点B，且BF=BE．

（1）判断直线BF与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若∠A=30°，BC=8，EF=6，请求出⊙O的直径．

Answer

(1)见解析;(2).

【解析】

（1）如图，连接OF，由BE=BF可得∠BFE=∠BEF，根据直角三角形两锐角互余可得∠CDE+∠CED=90°，由OD=OF，可得∠OFD=∠ODF，继而可得到∠OFD+∠BFE=90°，即可证得BF是⊙O的切线；

（2）如图，连接FH，先证明△BEF是等边三角形，从而可得BE=EF=6，继而可得DF=DE+EF=10，由DH是直径，利用cos30°= ，可求得DH=，即可得答案.

（1）结论：BF是⊙O的切线；

理由：如图，连接OF，

∵BE=BF，

∴∠BFE=∠BEF，

∵∠ACB=90°，

∴∠CDE+∠CED=90°，

∵OD=OF，

∴∠OFD=∠ODF，

∵∠BEF=∠DEC，

∴∠OFD+∠BFE=90°，

∴∠OFB=90°，

∴OF⊥BF，

∴BF是⊙O的切线；

（2）如图，连接FH，

∵DF∥AB，∠A=30°，

∴∠ODF=∠A=30°，

∴∠DEC=∠BEF=60°，

∵BE=BF，

∴△BEF是等边三角形，

∴BE=EF=6，

∵BC=8，

∴EC=2，DE=2EC=4，

∴DF=DE+EF=10，

∵DH是直径，

∴∠DFH=90°，

∴cos30°= ，

∴DH=，

∴⊙O的直径为．