Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的面积为15，边OA比OC大2．E为BC的中点，以OE为直径的⊙O′交轴于D点，过点D作DF⊥AE于点F。

（1）求OA、OC的长；

（2）求证：DF为⊙O′的切线；

（3）小明在解答本题时，发现△AOE是等腰三角形。由此，他断定：“直线BC上一定存在除点E以外的点P，使△AOP也是等腰三角形，且点P一定在⊙O′外”。你同意他的看法吗？请充分说明理由。

Answer

（1）OC=3，OA=5；（2）参见解析；（3）不同意，理由参见解析．

【解析】

（1）在矩形OABC中，设OC="x " 则OA= x+2，依题意得

解得：

（不合题意，舍去） ∴OC=3， OA="5" ……………3分

（2）连结O′D，在矩形OABC中，OC=AB，∠OCB=∠ABC=90，CE=BE=

∴ △OCE≌△ABE ∴EA="EO " ∴∠EOA=∠EAO

在⊙O′中， ∵ O′O= O′D ∴∠EOA=∠O′DO

∴∠O′DO =∠EAO ∴O′D∥AE，

∵DF⊥AE ∴ DF⊥O′D

又∵点D在⊙O′上，O′D为⊙O′的半径 ，∴DF为⊙O′切线．……………6分

不同意. 理由如下:

①当AO=AP时，

以点A为圆心，以AO为半径画弧交BC于P1和P4两点

过P1点作P1H⊥OA于点H，P1H =" OC" = 3，∵A P1=" OA" = 5

∴A H = 4， ∴OH ="1 "

求得点P1（1，3） 同理可得：P4（9，3）…………8分

②当OA=OP时，同上可求得:：P2（4，3），P3（4，3）

因此，在直线BC上，除了E点外，既存在⊙O′内的点P1，又存在⊙O′外的点P2、P3、P4，它们分别使△AOP为等腰三角形．……………10分