Question

如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边AB在x轴上，点B坐标（﹣3，0），点C在y轴正半轴上，且sin∠CBO=，点P从原点O出发，以每秒一个单位长度的速度沿x轴正方向移动，移动时间为t（0≤t≤5）秒，过点P作平行于y轴的直线l，直线l扫过四边形OCDA的面积为S．

（1）求点D坐标．

（2）求S关于t的函数关系式．

（3）在直线l移动过程中，l上是否存在一点Q，使以B、C、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）D（5，4）；（2）见解析；（3）点Q坐标为（，）或（4，1）或（1，﹣3）．

【解析】

（1）在Rt△BOC中，OB=3，sin∠CBO=，设CO=4k，BC=5k，根据BC2=CO2+OB2，可得25k2=16k2+9，推出k=1或﹣1（舍弃），求出菱形的边长即可解决问题；

（2）①如图1中，当0≤t≤2时，直线l扫过的图象是四边形CCQP，S=4t；②如图2中，当2＜t≤5时，直线l扫过的图形是五边形OCQTA．分别求解即可解决问题；

（3）画出符合条件的图形，分三种情形分别求解即可解决问题；

（1）在Rt△BOC中，OB=3，sin∠CBO=，设CO=4k，BC=5k，

∵BC2=CO2+OB2，

∴25k2=16k2+9，

∴k=1或﹣1（舍去），

BC=5，OC=4，

∵四边形ABCD是菱形，

∴CD=BC=5，

∴D（5，4）；

（2）①如图1中，当0≤t≤2时，直线l扫过的图象是四边形CCQP，S=4t．

②如图2中，当2＜t≤5时，直线l扫过的图形是五边形OCQTA．

S=S梯形OCDA﹣S△DQT=×（2+5）×4﹣×（5﹣t）×（5﹣t）=﹣t2+t﹣，

∴；

（3）如图3中，①当QB=QC，∠BQC=90°，Q（，）；

②当BC=CQ′，∠BCQ′=90°时，Q′（4，1）；

③当BC=BQ″，∠CBQ″=90°时，Q″（1，﹣3）；

综上所述，满足条件的点Q坐标为（，）或（4，1）或（1，﹣3）．