Question

如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，将弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合，连接OC，CD，BD，过点C的切线与线段BA的延长线交于点P，连接AD，在PB的另一侧作∠MPB=∠ADC．

（1）判断PM与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若PC=，求四边形OCDB的面积．

Answer

（1）PM与⊙O相切，理由见解析；（2）.

【解析】

（1）连接DO并延长交PM于E，如图，利用折叠的性质得OC=DC，BO=BD，则可判断四边形OBDC为菱形，所以OD⊥BC，△OCD和△OBD都是等边三角形，从而计算出∠COP=∠EOP=60°，接着证明PM∥BC得到OE⊥PM，所以OE=OP，根据切线的性质得到OC⊥PC，则OC=OP，从而可判定PM是⊙O的切线；

（2）先在Rt△OPC中计算出OC=1，然后根据等边三角形的面积公式计算四边形OCDB的面积．

（1）PM与⊙O相切．

理由如下：连接DO并延长交PM于E，如图，

∵弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合，

∴OC=DC，BO=BD，

∴OC=DC=BO=BD，

∴四边形OBDC为菱形，

∴OD⊥BC，

∴△OCD和△OBD都是等边三角形，

∴∠COD=∠BOD=60°，

∴∠COP=∠EOP=60°，

∵∠MPB=∠ADC，

而∠ADC=∠ABC，

∴∠ABC=∠MPB，

∴PM∥BC，

∴OE⊥PM，

∴OE=OP，

∵PC为⊙O的切线，

∴OC⊥PC，

∴OC=OP，

∴OE=OC，

而OE⊥PC，

∴PM是⊙O的切线；

（2）在Rt△OPC中，OC=PC=，

∴四边形OCDB的面积=2S△OCD=2××12=．