Question

设a₁=3²﹣1²，a₂=5²﹣3²，……，a_n=（2n+1）²﹣（2n﹣1）²，（n为正整数）

（1）试说明a_n是8的倍数；

（2）若△ABC的三条边长分别为a_k、a_k+1、a_k+2（k为正整数）

①求k的取值范围．

②是否存在这样的k，使得△ABC的周长为一个完全平方数，若存在，试举出一例，若不存在，说明理由．

Answer

（1）证明见解析；（2）①k＞1；②当k=5时，△ABC的周长为一个完全平方数．

【解析】

（1）先化简，再判断出整除的特点判断即可；

（2）①利用三角形的三边关系建立不等式，即可得出结论；

②先计算出三角形ABC的周长，即可得出结论．

（1）∵an=（2n+1）2﹣（2n﹣1）2

=[（2n+1）﹣（2n﹣1）][（2n+1）+（2n﹣1）]=2×4n=8n，

∵8n能被8整除，

∴an是8的倍数；

（2）①由（1）可得，ak=8k，ak+1=8（k+1），ak+2=8（k+2），

∴8k+8（k+1）＞8（k+2），解得，k＞1，

即k的取值范围是：k＞1；

②存在这样的k，使得△ABC的周长为一个完全平方数，

理由：∵△ABC的周长是：8k+8（k+1）+8（k+2）=24k+24=24（k+1）=4×6×（k+1），

∵△ABC的周长为一个完全平方数，则k+1=6m，（m为1，3，5，…奇数），

取m=1；

∴k=5；

即当k=5时，△ABC的周长为一个完全平方数．