Question

在平面直角坐标系中，已知直线y=﹣x+4和点M（3，2）

（1）判断点M是否在直线y=﹣x+4上，并说明理由；

（2）将直线y=﹣x+4沿y轴平移，当它经过M关于坐标轴的对称点时，求平移的距离；

（3）另一条直线y=kx+b经过点M且与直线y=﹣x+4交点的横坐标为n，当y=kx+b随x的增大而增大时，则n取值范围是　　．

Answer

（1）点M（3，2）不在直线y=﹣x+4上，理由见解析；（2）平移的距离为3或5；（3）2＜n＜3．

【解析】

（1）将x=3代入y=-x+4，求出y=-3+4=1≠2，即可判断点M（3，2）不在直线y=-x+4上；

（2）设直线y=-x+4沿y轴平移后的解析式为y=-x+4+b．分两种情况进行讨论：①点M（3，2）关于x轴的对称点为点M1（3，-2）；②点M（3，2）关于y轴的对称点为点M2（-3，2）．分别求出b的值，得到平移的距离；

（3）由直线y=kx+b经过点M（3，2），得到b=2-3k．由直线y=kx+b与直线y=-x+4交点的横坐标为n，得出y=kn+b=-n+4，k=．根据y=kx+b随x的增大而增大，得到k＞0，即＞0，那么①，或②，分别解不等式组即可求出n的取值范围．

（1）点M不在直线y=﹣x+4上，理由如下：

∵当x=3时，y=﹣3+4=1≠2，

∴点M（3，2）不在直线y=﹣x+4上；

（2）设直线y=﹣x+4沿y轴平移后的解析式为y=﹣x+4+b．

①点M（3，2）关于x轴的对称点为点M1（3，﹣2），

∵点M1（3，﹣2）在直线y=﹣x+4+b上，

∴﹣2=﹣3+4+b，

∴b=﹣3，

即平移的距离为3；

②点M（3，2）关于y轴的对称点为点M2（﹣3，2），

∵点M2（﹣3，2）在直线y=﹣x+4+b上，

∴2=3+4+b，

∴b=﹣5，

即平移的距离为5．

综上所述，平移的距离为3或5；

（3）∵直线y=kx+b经过点M（3，2），

∴2=3k+b，b=2﹣3k．

∵直线y=kx+b与直线y=﹣x+4交点的横坐标为n，

∴y=kn+b=﹣n+4，

∴kn+2﹣3k=﹣n+4，

∴k=．

∵y=kx+b随x的增大而增大，

∴k＞0，即＞0，

∴①，或②，

不等式组①无解，不等式组②的解集为2＜n＜3．

∴n的取值范围是2＜n＜3．

故答案为2＜n＜3．