Question

在Rt△ABC中，BC=2，AC=4，点D为AB的中点，P为AC边上一动点．△BDP沿着PD所在的直线翻折，点B的对应点为E．

（1）若PD⊥AB，求AP．

（2）当AD=PE时，求证：四边形BDEP为菱形．

（3）若△PDE与△ABC重合部分的面积等于△PAB面积的，求AP．

Answer

(1);(2)见解析：(3) AP=3或.

【解析】

（1）如图1，根据勾股定理可求出AB，从而得到AD、BD的值，易证△ADP∽△ACB，只需运用相似三角形的性质就可求出AP的值；

（2）由折叠可得：PE=PB，DE=DB，又有AD=PE，AD=DB，从而PE=PB=DB=DE，然后根据四条边相等的四边形形是菱形即可证明四边形BDEP为菱形；

（3）根据条件可得S△PDF=S△PAB=S△ADP=S△EDP，从而可得AF=PF，EF=DF．而符合条件的位置有两个（图3、图4），需分两种情况讨论：①如图3，根据三角形中位线定理可得DF∥BP，则有∠EDP=∠BPD．由折叠可得∠BDP=∠EDP，从而可得∠BDP=∠BPD，即可得到BP=BD=2，在Rt△BCP中运用勾股定理可求出PC，就可得到AP的值；②如图4，连接AE，由AF=PF，EF=DF可得四边形AEDP是平行四边形，则有AP=ED，由折叠可得DE=DB，即可得到AP=DB=2．

【解析】
（1）如图1，

∵∠C=90°，BC=2，AC=4，

∴AB==2．

∵点D为AB的中点，

∴AD=BD=．

∵PD⊥AB，

∴∠ADP=90°．

∵∠A=∠A，∠ADP=∠C，

∴△ADP∽△ACB，

∴=，

∴=，

∴AP=；

（2）证明：如图2，

由折叠可得：PE=PB，DE=DB．

∵AD=PE，AD=DB，

∴PE=PB=DB=DE，

∴四边形BDEP为菱形；

（3）∵点D是线段AB的中点，

∴S△ADP=S△BDP=S△PAB．

由折叠可得：S△EDP=S△BDP，

∴S△PDF=S△PAB=S△ADP=S△EDP，

∴AF=PF，EF=DF．

①如图3，

根据三角形中位线定理可得：DF∥BP，

∴∠EDP=∠BPD．

由折叠可得∠BDP=∠EDP，

∴∠BDP=∠BPD，

∴BP=BD=，

∴PC===1，

∴AP=4﹣1=3；

②如图4，

连接AE，

∵AF=DF，EF=PF，

∴四边形AEDP是平行四边形，

∴AP=ED，

由折叠可得：DE=DB，

∴AP=DB=．

综上所述：AP=3或．