Question

如图，直线与轴、轴分别相交于点C、B，与直线相交于点A．

（1）求A点坐标；

（2）如果在y轴上存在一点P，使△OAP是以OA为底边的等腰三角形，求P点坐标；

（3）在直线上是否存在点Q，使△OAQ的面积等于6？若存在，请求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）A点坐标是（2，3）；（2）P点坐标是（0，）；（3）存在；点Q是坐标是（（，））或（，））．

【解析】（1）联立方程，解方程即可求得；

（2）设P点坐标是（0，y），根据勾股定理列出方程，解方程即可求得；

（3）分两种情况：①当Q点在线段AB上：作QD⊥y轴于点D，则QD=x，根据S△OBQ=S△OAB﹣S△OAQ列出关于x的方程解方程求得即可；②当Q点在AC的延长线上时，作QD⊥x轴于点D，则QD=﹣y，根据S△OCQ=S△OAQ﹣S△OAC列出关于y的方程解方程求得即可．

（1）解方程组：得：，

∴A点坐标是（2，3）；

（2）设P点坐标是（0，y）．

∵△OAP是以OA为底边的等腰三角形，∴OP=PA，∴22+（3﹣y）2=y2，解得：y=，∴P点坐标是（0，）．

故答案为：（0，）；

（3）存在；

由直线y=﹣2x+7可知B（0，7），C（，0）．

∵S△AOC=××3=＜6，S△AOB=×7×2=7＞6，∴Q点有两个位置：Q在线段AB上和AC的延长线上，设点Q的坐标是（x，y）．

当Q点在线段AB上：作QD⊥y轴于点D，如图①，则QD=x，∴S△OBQ=S△OAB﹣S△OAQ=7﹣6=1，∴OB•QD=1，即×7x=1，∴x=，把x=代入y=﹣2x+7，得y=，∴Q的坐标是（）；

当Q点在AC的延长线上时，作QD⊥x轴于点D，如图②则QD=﹣y，∴S△OCQ=S△OAQ﹣S△OAC=6﹣=OC•QD=，即××（﹣y）=，∴y=﹣，把y=﹣代入y=﹣2x+7，解得x=，∴Q的坐标是（，﹣）．

综上所述：点Q是坐标是（）或（，﹣）．