Question

如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，

AD平分∠CAB，BD是⊙O的切线，AD与BC相交于点E．

(1)求证：BD=BE；

(2)若DE=2，BD=，求CE的长．

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】（1））设∠BAD=α，由于AD平分∠BAC，所以∠CAD=∠BAD=α，进而求出∠D=∠BED=90°-α，从而可知BD=BE；

（2）设CE=x，由于AB是⊙O的直径，∠AFB=90°，又因为BD=BE，DE=2，FE=FD=1，由于BD=，所以tanα= ，从而可求出AB==2，利用勾股定理列出方程即可求出x的值．

（1）【解析】
设∠BAD=α， ∵AD平分∠BAC

∴∠CAD=∠BAD=α，

∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，

∴∠ABC=90°﹣2α，

∵BD是⊙O的切线，∴BD⊥AB，∴∠DBE=2α，

∠BED=∠BAD+∠ABC=90°﹣α，

∴∠D=180°﹣∠DBE﹣∠BED=90°﹣α，

∴∠D=∠BED，∴BD=BE

（2）【解析】
设AD交⊙O于点F，CE=x，则AC=2x，连接BF，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠AFB=90°，∵BD=BE，DE=2，∴FE=FD=1，∵BD=，∴tanα=，∴AB==2

在Rt△ABC中，由勾股定理可知：（2x）2+（x+）2=（2）2 ，

∴解得：x=﹣或x=，∴CE=；