Question

如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BD是中线，AF⊥BD，F为垂足，过点C作AB的平行线交AF的延长线于点E.

求证：(1)∠ABD＝∠FAD；(2)AB＝2CE.

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）根据同角的余角相等即可证明结论；（2）利用ASA证明△BAD≌△ACE，即可得AD＝CE；再由AC＝2AD=2CE即可得AB＝2CE.

证明：(1)∵∠BAC＝90°，

∴∠FAD＋∠BAF＝90°.

∵AF⊥BD，

∴在Rt△ABF中，∠ABD＋∠BAF＝90°，

∴∠ABD＝∠FAD.

(2)∵CE∥AB，∠BAC＝90°，∴∠ACE＝90°，

在△BAD和△ACE中，

∵∠ABD＝∠CAE，AB＝CA，∠BAC＝∠ACE＝90°，

∴△BAD≌△ACE(ASA)，

∴AD＝CE.

∵BD为△ABC中AC边上的中线．

∴AC＝2AD，

∴AC＝2CE.

又∵AB＝AC，

∴AB＝2CE.