Question

已知，抛物线与x轴正半轴交于A、B两点（A点在B点左边），且AB=4．

（1）求k值；

（2）该抛物线与直线交于C、D两点，求S_△ACD；

（3）该抛物线上是否存在不同于A点的点P，使S_△PCD=S_△ACD？若存在，求出P点坐标．

（4）若该抛物线上有点P，使S_△PCD=tS_△ACD，抛物线上满足条件的P点有2个，3个，4个时，分别直接写出t的取值范围．

Answer

（1）k=4（2） （3）存在符合条件的P点，且坐标为 P1（7，）、P2（，）、P3（，）；（4）当0＜t＜时，P点有四个；当t=时，P点有三个；当t＞时，P点有两个

【解析】

（1）设A（x1，0）、B（x2，0），x1、x2＞0，根据题意可得AB=|x1﹣x2|==4，而x1+x2，x1x2可由k表达出来，根据等量关系即可求得k的值；

（2）先联立直线CD和抛物线的解析式求出C，D两点的坐标，此时从图可看出△ACD是一个不规则的三角形，所以可过A作直线AE∥y轴，交直线CD于E，那么线段AE为底，C，D的横坐标差的绝对值为高即可得出△ACD的面积；

（3）设直线CD与y轴的交点为G，过点A作l1∥CD交y轴于H，取GH=GL，过L作l2∥CD交y轴于L，那么直线l1，l2到直线CD的距离等于点A到直线CD的距离，所以它们与抛物线的交点都是符合条件的P点；

（4）通过作图可以发现，在直线CD上方肯定有两个P点，所以只考虑直线CD下方的P点数，这就要抓住P点有三个或CD下方有一个P点的情况：P为平行于CD的直线与抛物线的唯一交点；若上述情况（P点有三个）中，t=，那么：P点有两个时，t＞；P点有四个时，0＜t＜.

（1）设A（x1，0）、B（x2，0），且x1＜x2，x1、x2＞0，

则：x1+x2=2k，x1x2=2（k+2）=2k+4,

∴AB=|x1﹣x2|==4，即：k2﹣2k﹣8=0，

解得：k1=﹣2，k2=4，

∵x1+x2＞0，即k＞0，

∴k=4；

（2）

由（1）知，抛物线的解析式：y=x2﹣4x+6，点A（2，0），B（6，0）；

联立直线CD和抛物线的解析式，有：

，

解得，，

即：C（1，），D（8，6），

如图，过A作直线AE∥y轴，交直线CD于E，则E（2，3），AE=3，

S△ACD=AE×|xD﹣xC|=×3×7=；

（3）如右图，设直线CD与y轴的交点为G，过点A作l1∥CD交y轴于H，取GH=GL，过L作l2∥CD交y轴于L；

设直线l1：y=x+b1，代入A（2，0），得：

×2+b1=0，b1=﹣1

即，直线l1：y=x﹣1，H（0，﹣1），GL=GH=3，L（0，5）；

同上，可求得，直线l2：y=x+5；

联立直线l1与抛物线的解析式，得：

，

解得，，

即：P1（7，）；

联立直线l2与抛物线的解析式，得：

，

解得，，

即：P2（，）、P3（，）；

综上，存在符合条件的P点，且坐标为 P1（7，）、P2（，）、P3（，）；

（4）当满足条件的P点有三个时，如右图：

直线l3∥CD，且直线l3与抛物线只有唯一交点P；

设直线l3：y=x+b3，联立抛物线的解析式有：

x+b3=x2﹣4x+6，即：x2﹣9x+12﹣2b3=0

△=81﹣4×（12﹣2b3）=0，解得：b3=﹣

即，直线l3：y=x﹣，P（，﹣）；

过点P作直线PF∥y轴，交直线CD于F，则F（，）、PF=，

S△PCD=PF×|yD﹣yC|=××7=，t===，

综上上面的计算结果和图形来看：

当0＜t＜时，P点有四个；

当t=时，P点有三个；

当t＞时，P点有两个．