Question

如图，直线y＝x＋3与坐标轴分别交于A，B两点，抛物线y＝ax²＋bx－3a经过点A，B，顶点为C，连接CB并延长交x轴于点E，点D与点B关于抛物线的对称轴MN对称．

（1）求抛物线的解析式及顶点C的坐标；

（2）求证：四边形ABCD是直角梯形．

Answer

（1）y＝－x2－2x＋3，顶点C的坐标为（－1，4）；（2）证明见解析．

【解析】

（1）【解析】
∵y＝x＋3与坐标轴分别交与A，B两点，∴A点坐标（－3，0）、B点坐标（0，3）.

∵抛物线y＝ax2＋bx－3a经过A，B两点，

∴

解得

∴抛物线解析式为：y＝－x2－2x＋3.

∵y＝－x2－2x＋3＝－（x＋1）2＋4，

∴顶点C的坐标为（－1，4）.

（2）证明：∵B，D关于MN对称，C（－1，4），B（0，3），

∴D（－2，3）.∵B（0，3），A（－3，0），∴OA＝OB.

又∠AOB＝90°，∴∠ABO＝∠BAO＝45°.

∵B，D关于MN对称，∴BD⊥MN.

又∵MN⊥x轴，∴BD∥x轴.

∴∠DBA＝∠BAO＝45°.

∴∠DBO＝∠DBA＋∠ABO＝45°＋45°＝90°.

设直线BC的解析式为y＝kx＋b，

把B（0，3），C（－1，4）代入得，

解得

∴y＝－x＋3.

当y＝0时，－x＋3＝0，x＝3，∴E（3，0）.

∴OB＝OE，又∵∠BOE＝90°，

∴∠OEB＝∠OBE＝∠BAO＝45°.

∴∠ABE＝180°－∠BAE－∠BEA＝90°.

∴∠ABC＝180°－∠ABE＝90°.

∴∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝45°.

∵CM⊥BD，∴∠MCB＝45°.

∵B，D关于MN对称，

∴∠CDM＝∠CBD＝45°，CD∥AB.

又∵AD与BC不平行，∴四边形ABCD是梯形.

∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是直角梯形.