Question

如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°.

(1)当点D在AC上时，如图①，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想；

(2)将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α(0°＜α＜90°)，如图②，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．

Answer

（1）BD＝CE，BD⊥CE（2）仍有BD＝CE，BD⊥CE

【解析】

试题（1）延长BD交CE于F，易证△EAC≌△DAB，可得BD=CE，∠ABD=∠ACE，根据∠AEC+∠ACE=90°，可得∠ABD+∠AEC=90°，即可解题；
（2）延长BD交CE于F，易证∠BAD=∠EAC，即可证明△EAC≌△DAB，可得BD=CE，∠ABD=∠ACE，根据∠ABC+∠ACB=90°，可以求得∠CBF+∠BCF=90°，即可解题．

试题解析：

（1）延长BD交CE于F，

在△EAC和△DAB中，

，
∴△EAC≌△DAB（SAS），
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，
∵∠AEC+∠ACE=90°，
∴∠ABD+∠AEC=90°，
∴∠BFE=90°，即EC⊥BD；

（2）延长BD交CE于F，

∵∠BAD+∠CAD=90°，∠CAD+∠EAC=90°，
∴∠BAD=∠EAC，
∵在△EAC和△DAB中，

，
∴△EAC≌△DAB（SAS），
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，
∵∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠CBF+∠BCF=∠ABC-∠ABD+∠ACB+∠ACE=90°，
∴∠BFC=90°，即EC⊥BD．