Question

如图①，点A，E，F，C在同一直线上，AE＝CF，过点E，F分别作ED⊥AC，FB⊥AC，AB＝CD.

(1)若BD与EF交于点G，试证明BD平分EF；

(2)若将△DEC沿AC方向移动到图②的位置，其他条件不变，上述结论是否仍然成立？请说明理由．

Answer

证明见解析

【解析】

试题（1）先利用HL判定Rt△ABF≌Rt△CDE，得出BF=DE；再利用AAS判定△BFG≌△DEG，从而得出FG=EG，即BD平分EF；

（2）结论仍然成立，同样可以证明得到．

试题解析：（1）证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEG=∠BFE=90°，∵AE=CF，AE+EF=CF+EF，即AF=CE．在Rt△ABF和Rt△CDE中，∵AB=CD，AF=CE，∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），∴BF=DE．在△BFG和△DEG中，∵∠BFG=∠DEG，∠BGF=∠DGE，BF=DE，∴△BFG≌△DEG（AAS），∴FG=EG，即BD平分EF；

（2）FG=EG，即BD平分EF的结论依然成立．

理由：如图2，连接BE、FD．∵AE=CF，FE=EF，∴AF=CE，∵DE垂直于AC，BF垂直于AC，∴∠AFB=∠CED，BF∥DE，∴在Rt△ABF和Rt△CDE中，∵AF=CE，AB=CD，∴△ABF≌△CDE（HL），∴BF=DE，∴四边形BEDF是平行四边形，∴GE=GF，即：BD平分EF，即结论依然成立．