Question

直角坐标系中，已知A（1，0），以点A为圆心画圆，点M（4，4）在⊙A上，直线y=﹣x+b过点M，分别交x轴、y轴于B、C两点．

（1）①填空：⊙A的半径为　   　，b=　   　．（不需写解答过程）

②判断直线BC与⊙A的位置关系，并说明理由．

（2）若EF切⊙A于点F分别交AB和BC于G、E，且FE⊥BC，求的值．

（3）若点P在⊙A上，点Q是y轴上一点且在点C下方，当△PQM为等腰直角三角形时，直接写出点Q的坐标．

Answer

(1) 5，7;(2) 相切,理由见解析;(3) Q的坐标是（0，0）或（0，2）或（0，﹣8）或（0，3﹣）．

【解析】

（1）①连接AM，过M作MQ⊥x轴于Q，求出AQ、QM，根据勾股定理求出AM即可；把M的坐标代入解析式，求出b即可；②求出B、C的坐标，证△AQM和△BQM相似，推出∠MAQ=∠BMQ，推出∠AMB=90°即可；

（2）设EG=a，根据勾股定理求出BC、AC、CM的值，根据△BEG和△BOC相似，求出BE的值，根据△BEG和△AFG相似，求出GF的值，根据BC=BE+EM+CM，代入求出a即可；

（3）有三种情况：①当∠PQM=90°时，MQ=PQ，根据轴对称，得出Q与O重合，即可求出Q的坐标；②当∠PMQ=90°，MQ=MP，作MD⊥x，MH⊥y，证△MHQ≌△MDP，推出P是圆与x正半轴交点，即可求出答案；③当∠QPM=90°时，分两种情况：第一情况：P在y的左方，设P（m，n），Q（0，b）得出方程①4-m=n-b，②4-n=-m，③（1-m）2+n2=52，解方程组即可求出b；第二情况：P在y的右方，同理能求出b的值．

（1）①【解析】
连接AM，过M作MQ⊥x轴于Q，

则AQ=4﹣1=3，MQ=4，

由勾股定理得：AM==5，

把M（4，4）代入y=﹣x+b得：4=﹣×4+b，

∴b=7，

故答案为：5，7．

②【解析】
相切，

理由是：连接AF，

y=﹣x+7，

当x=0时，y=7，∴C（0，7），OC=7，

当y=0时，0=﹣x+7，

∴x=，

∴B（，0），OB=，

∴BQ=OB﹣OQ=﹣4=，AQ=4﹣1=3，MQ=4，

∴==，=，

∴=，

∵∠MQA=∠MQB，

∴△AMQ∽△MBQ，

∴∠MAQ=∠BMQ，

∵∠MAQ+∠AMQ=90°，

∴∠AMQ+∠BMQ=90°，

∴AM⊥BC，

∴直线BC与⊙A的位置关系是相切．

（2）【解析】
连接AC，

在△COB中，由勾股定理得：BC==，

同理AC=5，

∵AM=5，由勾股定理得：CM=5，

设EG=a，

∵EF⊥BC，

∴∠FEB=∠COB=90°，

∵∠OBC=∠OBC，

∴△BEG∽△BOC，

∴，

即=，

∴BE=a，

∴根据切线长定理得：EM=EF=BC﹣BE﹣CM=﹣a﹣5，

∵EF⊥CB，AF⊥EF，

∴AF∥BC，

∴△AFG∽△BEG，

∴=，

∴=，

∴FG=，

∵BE+EM+CM=BC，

∴a+a++5=，

a=，

EG=，FG=，

∴==3．

（3）【解析】
①当∠PQM=90°时，MQ=PQ，由对称性M，P关于X轴对称，

所以Q，O重合，Q（0，0）；

②当∠PMQ=90°，MQ=MP，作MD⊥x，MH⊥y，

可得△MHQ≌△MDP，

即P是圆与x正半轴交点

从而Q（0，2）；

③当∠QPM=90°时，分两种情况：

第一情况：P在y的左方，如图，

设P（m，n），Q（0，b）可得：

①4﹣m=n﹣b，②4﹣n=﹣m，③（1﹣m）2+n2=52，

解方程组得，b=2，b=﹣8（b=2也符合条件，虽与②中b同，但直角不同），

第二情况：P在y的右方，同理得：

①m﹣4=n﹣b，②4﹣n=m，③（1﹣m）2+n2=52，

解方程组得，b=3+（舍），b=3﹣．

综合上述：Q的坐标是（0，0）或（0，2）或（0，﹣8）或（0，3﹣）．