Question

如图，⊙O为△ABC的外接圆，AB=AC，直线MN与⊙O相切于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E．

（1）求证：△ABE ≌ △ACD；

（2）若AB = 5，BC = 3，求AE．

Answer

(1) 见解析;(2) AE = ．

【解析】（1）在两个三角形中，证明两个三角形全等，找出三角形全等的条件，根据同弧所对的圆周角相等，根据所给的边长相等，由边角边确定两个三角形是全等三角形．
（2）可以证明得到对应边成比例，设出要求的边长，得到关于边长的方程，解方程即可．

（1）连接OC，

∵直线MN与⊙O相切于点C，

∴OC ⊥ MN，

∵BD∥ MN，

∴OC ⊥ BD，

∴ =,

∴∠BAE =∠CAD，

在△ABE和△ACD中

∴△ABE ≌ △ACD（ASA）.

（2）由（1）知∠BAC = ∠CAD = ∠CBD,

∴

∴ ,

∵,

∴CE = ,

∴AE = ．