Question

如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)经过A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点，其顶点为D，连接BD，点是线段BD上一个动点（不与B、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为E，连接BE．

（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；

（2）如果P点的坐标为（x，y），△PBE的面积为，求S与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；

（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，过点P作x的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为P′，请直接写出P′点坐标，并判断点P′是否在该抛物线上．

Answer

（1）顶点D的坐标为(1，4)；（2）当时， S取得最大值，最大值为；（3）把P′坐标（）代入抛物线解析式，不成立，所以不在抛物线上．

【解析】

（1）根据A，B，C三点的坐标，可以运用交点式法求得抛物线的解析式．再根据顶点的坐标公式求得抛物线的顶点坐标；

（2）根据B，D的坐标运用待定系数法求得直线BD的解析式，再根据三角形的面积公式以及y与x之间的函数关系式得到s与x之间的函数关系式．点P的横坐标即x的值位于点D和点B的横坐标之间．根据二次函数的顶点式即可分析其最值；

（3）根据（2）中的坐标得点E和点C重合．过P′作P′H⊥y轴于H，P′F交y轴于点M．要求P′H和OH的长．P′H的长可以运用直角三角形P′CM的面积进行计算．设MC＝m，则MF＝m，P′M＝3−m，P′E＝32．根据勾股定理列方程求解，得到直角三角形P′CM的三边后，再根据直角三角形的面积公式进行计算．要求OH的长，已知点C的坐标，只需根据勾股定理进一步求得CH的长即可．把求得的点P的坐标代入抛物线解析式即可判断点P′是否在该抛物线上．

（1）设，

把代入，得，

∴抛物线的解析式为：，

顶点的坐标为；

（2）设直线解析式为：（），把两点坐标代入，

得

解得，

∴直线解析式为，

，

∴，

，

∴当时，取得最大值，最大值为；

（3）当取得最大值，，，

∴，

∴四边形是矩形，

作点关于直线的对称点，连接，

法一：过作轴于，交轴于点，

设，则，

在中，由勾股定理，

，

解得，

∵，

∴，

由，可得，，

∴，

∴坐标；

法二：连接，交于点，分别过点作的垂线，垂足为，

易证，

∴，

设，则，

∴，，

由三角形中位线定理，

，

∴，即，

，

∴坐标．

把坐标代入抛物线解析式，不成立，所以不在抛物线上．