Question

在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．

（1）求证：四边形DEBF是矩形；

（2）若AF平分∠DAB，AE=3，BF=4，求▱ABCD的面积．

Answer

（1）证明见解析（2）32

【解析】

试题（1）根据平行四边形的性质，可证DF∥EB，然后根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可证四边形DEBF是平行四边形，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可证；

（2）根据（1）可知DE=BF，然后根据勾股定理可求AD的长，然后根据角平分线的性质和平行线的性质可求得DF=AD，然后可求CD的长，最后可用平行四边形的面积公式可求解.

试题解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴DC∥AB，即DF∥EB．

又∵DF＝BE，

∴四边形DEBF是平行四边形．

∵DE⊥AB，

∴∠EDB＝90°．

∴四边形DEBF是矩形．

（2）∵四边形DEBF是矩形，

∴DE＝BF＝4，BD＝DF．

∵DE⊥AB，

∴AD＝＝＝5．

∵DC∥AB，

∴∠DFA＝∠FAB．

∵AF平分∠DAB，

∴∠DAF＝∠FAB．

∴∠DAF＝∠DFA．

∴DF＝AD＝5．

∴BE＝5．

∴AB＝AE＋BE＝3＋5＝8．

∴S□ABCD＝AB·BF＝8×4＝32．